Matrix Analysis: 广义逆矩阵

广义逆矩阵

广义逆矩阵
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$, 若矩阵 $G \in \mathbb{C}^{n \times m}$ 满足:

$AGA = b, \quad \forall b in R(A),$

则称 $G$ 是 $A$ 的广义逆矩阵, 记为 $G = A^{-}$.

$G$ 是 $A$ 的广义逆矩阵的充要条件是:

$AGA = A.$

推论:
$rank(A^{-}) \geq rank(A)$.

$\begin{align} A{1} &= \{ G \vert G = A^{-} + U - A^{-}UAA^{-}, \forall U \in \mathbb{C}^{m \times n} \} \\ &= \{ G \vert G = A^{-} + (E_{n} - A^{-}A)V + W(E_{m} - AA^{-}), \forall V,W \in \mathbb{C}^{n \times m} \} \end{align}$

性质：

$(A^{T})^{-} = (A^{-})^{T}$, $(A^{H})^{-} = (A^{-})^{H}$;
$A^{-}A$ 和 $AA^{-}$ 是投影(幂等)矩阵, 且 $rank(A) = rank(A^{-}A) = rank(AA^{-})$;
$\lambda ^{-1}A^{-}$ 是 $\lambda A$ 的广义逆矩阵;
设 $B = SAT$, 其中 $S, T$ 是可逆矩阵, 则 $B^{-} = T^{-1}A^{-}S^{-1}$;
$R(AA^{-}) = R(A), N(A^{-}A) = N(A)$.

推论:
$A \in \mathbb{C}^{n \times m}$, 则

$rank(A) = n \Leftrightarrow A^{-}A = E_{n}$;
$rank(A) = m \Leftrightarrow AA^{-} = E_{m}$;

单边逆矩阵

单边逆矩阵
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$, 若矩阵 $G \in \mathbb{C}^{n \times m}$ 满足:

$AGA = b, \quad \forall b in R(A),$

则称 $G$ 是 $A$ 的广义逆矩阵, 记为 $G = A^{-}$.

$A$ 左可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 列满秩 $\Leftrightarrow$ $N(A) = \{0\}$.
$A$ 右可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 行满秩 $\Leftrightarrow$ $R(A) = \mathbb{C}^{m}$.

左可逆
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$, 若 $A$ 左可逆, 则 $G = \begin{pmatrix} A_{1}^{-1} - BA_{2}A_{1}^{-1} & B \\ \end{pmatrix}P$ 是 $A$ 的左逆矩阵, 其中 $B \in \mathbb{C}^{n \times (m-n)}$ 的任意矩阵, 初等行变换矩阵 $P$ 满足 $PA = \begin{pmatrix} A_{1} \\ A_{2} \end{pmatrix}$, $A_{1}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵.
右可逆
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$, 若 $A$ 右可逆, 则 $G = Q\begin{pmatrix} A_{1}^{-1} - A_{1}^{-1}A_{2}D \\ D \\ \end{pmatrix}$ 是 $A$ 的右逆矩阵, 其中 $B \in \mathbb{C}^{(n-m) \times m}$ 的任意矩阵, 初等行变换矩阵 $Q$ 满足 $AQ = \begin{pmatrix} A_{1} & A_{2} \end{pmatrix}$, $A_{1}$ 是 $m$ 阶可逆矩阵.

左可逆
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ 左可逆, 则方程组 $Ax = b$ 有解的充要条件是 $(E_{m} - AA_{L}^{-1})b = 0\tag{1}\label{eq:1}$ 若 $\eqref{eq:1}$ 成立, 则方程组 $Ax=b$ 有唯一解 $x = (A^{H}A)^{1}A^{H}b$
右可逆
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ 右可逆, 则方程组 $Ax = b$ 对任意 $b$ 都有解, 若$b \neq 0$, 则 $x = A_{R}^{-1}b$ 是方程组的解.

M-P 广义逆矩阵 $A^{+}$

M-P 广义逆矩阵 $A^{+}$
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$, 若矩阵 $G \in \mathbb{C}^{n \times m}$ 满足:

$AGA = A, GAG = G, (GA)^{H} = GA, (AG)^{H} = AG,$

则称 $G$ 是 $A$ 的 M-P 广义逆矩阵, 记为 $G = A^{+}$.

$A^{+}$ 求法
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$, 其最大秩分解为 $A = BD$, 则

$A^{+} = D^{H}(DD^{H})^{-1}(B^{H}B)^{-1}B^{H}$

是 $A$ 的 M-P 广义逆矩阵 $A^{+}$.

A 的 M-P 广义逆矩阵 $A^{+}$ 是唯一的.

性质:

$(A^{+})^{+} = A$;
$(A^{T})^{+} = (A^{+})^{T}$, $(A^{H})^{+} = (A^{+})^{H}$;
$A^{+} = (A^{H}A)^{+}A^{H} = A^{H}(AA^{H})^{+}$;
$R(A^{+}) = R(A^{H})$
$AA^{+} = P_{R(A)}, A^{+}A = P_{R(A^{H})}$, 其中 $P_{x}$ 是 $x$ 的投影矩阵;
$R(A) = R(A^{H})$ 的充要条件是 $AA^{+} = A^{+}A$.
$(A^{H}A)^{+} = A^{+}(A^{H})^{+},\ (AA^{H})^{+} = (A^{H})A^{+}$;
$(A^{H}A)^{+} = A^{+}(AA^{H})^{+}A = A^{H}(AA^{H})^{+}(A^{H})^{+}$
$AA^{+} = (AA^{H})(AAA^{H})^{+} = (AA^{H})^{+}(AA^{H})$
$A^{+}A = (A^{H}A)(A^{H}A)^{+} = (A^{H}A)^{+}(A^{H}A)$

设 $A \in \mathbb{C}^{m \times l}, B \in \mathbb{C}^{l \times n}$

$(AB)^{+} = B^{+}A^{+} \Leftrightarrow R(A^{H}AB) \subset R(B)\ 且\ R(BB^{H}A^{H}) \subset R(A^{H})$

自反广义逆矩阵 $A_{r}^{-}$

M-P 广义逆矩阵 $A^{+}$
设 $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$, 若矩阵 $G \in \mathbb{C}^{n \times m}$ 满足:

$AGA = A, GAG = G$

则称 $G$ 是 $A$ 的 M-P 广义逆矩阵, 记为 $G = A_{r}^{-}$.

任意矩阵 $A$ 的自反广义逆矩阵 $A_{r}^{-}$.

$A_{r}^{-}$ 求法
设 $X,Y \in \mathbb{C}^{n \times m}$ 均为 $A$ 的广义逆矩阵, 则

$Z = XAY$

是 $A$ 的自反广义逆矩阵 $A_{r}^{-}$.

设 $A^{-}$ 是 $A$ 的广义逆矩阵, 则 $A_{r}^{-} = A^{-}A$ 是 $A$ 的自反广义逆矩阵的充要条件是

$rank(A) = rank(A^{-})$

以下等式知二推一:

$rank(A) = rank(X)$
$AXA = A$
$XAX = X$

$X = (A^{H}A)^{-}A^{H}, Y=A^{H}(AA^{H})^{-}$ 都是 $A$ 的自反广义逆矩阵.

$AA_{r}^{-}, A_{r}^{-}A$ 都是投影(幂等)矩阵.