常见空间
线性空间
设 $V$ 是一个非空集合, $F$ 是一个域, 若 $V$ 上定义了两个运算: 加法 $+$ 和数乘 $\cdot$, 满足以下条件:
- $(V, +)$ 构成一个阿贝尔群;
- 对任意 $\alpha, \beta \in F$, $x, y \in V$, 有
- 结合律: $(\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$;
- 分配律: $(\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$;
- 分配律: $\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$;
- 恒等律: $1 x = x$.
则称 $V$ 是一个 $F$ 上的线性空间.
一些重要的线性空间:
- 赋范线性空间: 定义了范数 $\lVert \cdot \rVert$ 的线性空间.
- 内积空间: 定义了内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 的线性空间.
- 欧式空间: 定义了内积的有限维实线性空间.
- 酉空间: 定义了内积的有限维复线性空间.
- Banach 空间: 完备的赋范线性空间.
- Hilbert 空间: 完备的内积空间.
再生核希尔伯特空间
再生核希尔伯特空间