等价 & 相似 & 合同

等价 & 相似 & 合同

  • 等价: $A \sim B$, 存在非奇异矩阵 $P$, $Q$, 使得 $A = P B Q^{-1}$.
  • 相似: $A \sim B$, 存在非奇异矩阵 $P$, 使得 $A = P B P^{-1}$.
  • 合同: $A \sim B$, 存在非奇异矩阵 $P$, 使得 $A = P^{T} B P$.

三种关系的强弱:
等价 $\Leftrightarrow$ $A,B$ 秩相同;
相似 $\Leftrightarrow$ 合同 $+$ 正负惯性指数相同;
等价 $\Leftrightarrow$ 合同 $+$ 特征值相同 $+$ 主对角线元素之和相同 $+$ 正负惯性系数相同 $+$ 矩阵的值相同
三者的强弱关系如下图所示:

补充:

酉相似

$A \sim B$, 存在酉矩阵 $U$, 使得 $A = U B U^{H}$.

实对称矩阵的特殊情况

实对称矩阵相似必合同.

域

幺半群
幺半群是一个集合 $S$ 和一个二元运算 $*$ 构成的代数结构 $(S, *)$, 满足以下条件:

  1. 封闭性: 对于任意 $a, b \in S$, 有 $a * b \in S$;
  2. 结合律: 对于任意 $a, b, c \in S$, 有 $(a * b) * c = a * (b * c)$;
  3. 单位元: 存在一个元素 $e \in S$, 使得对于任意 $a \in S$, 有 $a * e = e * a = a$.

群
群是一个集合 $G$ 和一个二元运算 $*$ 构成的代数结构 $(G, *)$, 满足以下条件:

  1. $(G, *)$ 构成一个幺半群;
  2. 逆元: 对于任意 $a \in G$, 存在一个元素 $a^{-1} \in G$, 使得 $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$.

特别地, 若群 $(G, *)$ 满足交换律, 则称其为阿贝尔群

环
环是一个集合 $R$ 和两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 构成的代数结构 $(R, +, \cdot)$, 满足以下条件:

  1. $(R, +)$ 构成一个阿贝尔群;
  2. $(R, \cdot)$ 构成一个幺半群.
  3. $\cdot$ 对 $+$ 的分配律成立.

域
域是一个集合 $F$ 和两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 构成的代数结构 $(F, +, \cdot)$, 满足以下条件:

  1. $(F, +, \cdot)$ 构成一个环;
  2. $(F \setminus \{0\}, \cdot)$ 构成一个阿贝尔群.

常见域有: 实数域 $\mathbb{R}$, 复数域 $\mathbb{C}$, 有理数域 $\mathbb{Q}$, 有限域 $\mathbb{F}_{p}$.