Calculous: 常用级数

数项级数 & 函数项级数

级数的收敛

数项级数 & 函数项级数

数项级数: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$, $a_{n} \in \mathbb{R}$;
函数项级数: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$, $f_{n}(x)$ 是定义在 $\mathcal{I}$ 上的函数序列.

部分和 & 部分和函数列

数项级数的部分和: $\displaystyle S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}$;
函数项级数的部分和函数列: $\displaystyle S_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n} f_{k}(x)$.

数项级数收敛
若数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的部分和序列 $\{S_{n}\}$ 的极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ 存在, 则称级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 记为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = S$.
函数项级数逐点收敛
若函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 对任意给定的 $x \in \mathcal{I}$, 数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 收敛, 则称函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\mathcal{I}$ 上逐点收敛.
函数项级数一致收敛
若函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 的部分和函数列 $\{S_{n}(x)\}$ 一致收敛于 $S(x)$, 即 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \mathcal{I}} \lvert S_{n}(x) - S(x) \rvert = 0$, 则称函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\mathcal{I}$ 上一致收敛.

绝对收敛
若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \lvert a_{n} \rvert$ 收敛, 则称数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛.
条件收敛
若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \lvert a_{n} \rvert$ 发散, 则称数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛.

收敛性判别法

此处只列举一些常见且通用的收敛性判别法.

Cauchy 判别法
数项级数收敛, 函数项级数一致收敛的充要条件:
对任意 $\varepsilon > 0$, 存在 $N \in \mathbb{N}$, 使得对任意 $n > N$ 和 $p \in \mathbb{N}$, 有

$\displaystyle \lvert a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p} \rvert < \varepsilon \text{(数项级数)}$ $\displaystyle \lvert f_{n+1}(x) + f_{n+2}(x) + \cdots + f_{n+p}(x) \rvert < \varepsilon \text{(函数项级数)}$

Abel 判别法

数项级数
若数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 数列 $\{b_{n}\}$ 单调有界, 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}$ 收敛.
函数项级数
若函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\mathcal{I}$ 上一致收敛, 且函数列 $\{v_{n}(x)\}$ 对每一个 $x \in \mathcal{I}$ 都关于 $n$ 单调, 且在 $\mathcal{I}$ 上一致有界, 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)v_{n}(x)$ 在 $\mathcal{I}$ 上一致收敛.

Dirichlet 判别法

数项级数
若部分和数列 $\{S_{n}\}$ 有界, 数列 $\{b_{n}\}$ 单调趋于 $0$, 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}$ 收敛.
函数项级数
若部分和函数列 $\{S_{n}(x)\}$ 一致有界, 函数列 $\{v_{n}(x)\}$ 对于每一个固定的 $x \in \mathcal{I}$ 都关于 $n$ 单调, 且在 $\mathcal{I}$ 上一致趋于 $0$, 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)v_{n}(x)$ 在 $\mathcal{I}$ 上一致收敛.

收敛级数的性质

收敛数项级数的性质

加法结合律
若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 则在它的求和表达式中任意添加或删除括号, 所得到的级数仍然收敛, 且其和不变.

加法交换律
若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛, 则其任意更序级数也绝对收敛, 且其和不变; 若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛, 则存在更序级数条件收敛, 且其和不变.

Cauchy 定理
若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 分别绝对收敛于 $A$ 和 $B$, 则 $a_{k}b_{l} \ (k,l = 1,2, \cdots)$ 按任意方式相加得到的级数都绝对收敛于 $AB$.

收敛函数项级数的性质

逐项积分定理
设 $u_{n} \in R([a,b])$, 且函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $S(x)$, 则 $S \in R([a,b])$ 且

$\int_{a}^{b} S(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} u_{n}(x) \, dx.$

连续性定理
设 $u_{n} \in C(\mathcal{I})$, 且函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\mathcal{I}$ 上一致收敛于 $S(x)$, 则 $S \in C(\mathcal{I})$, 即对任意 $x_{0} \in \mathcal{I}$, 有

$\lim_{x \to x_{0}} S(x) = \lim_{x \to x_{0}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{x \to x_{0}} u_{n}(x) = S(x_{0}).$

逐项求导定理
设 $u_{n} \in C^{1}(\mathcal{I})$, 且函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\mathcal{I}$ 上逐点收敛于 $S(x)$, 且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}’(x)$ 在 $\mathcal{I}$ 上一致收敛于 $\sigma(x)$, 则 $S \in C^{1}(\mathcal{I})$ 在区间 $\mathcal{I}$ 上可导, 且

$S'(x) = \left( \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}'(x) = \sigma(x).$