有理数系与实数系

共同点

都具有：运算的封闭性、有序性、稠密性

不同点

有理数系对极限运算不封闭
实数系对极限运算封闭

[[01-本科课程/大二上/01-Calculus/纵向总结/单调有界定理]]

定理

单调有界数列必收敛.

证明

见书$P_{12}$

例题

wjf/eg/1-2-2 (Euler-Mascheroni常数$\gamma$)

wjf/eg/1-2-3

wjf/xt/1-10

wjf/xt/1-12

[[01-本科课程/大二上/01-Calculus/纵向总结/闭区间套定理]]

定义(闭区间套)

若闭区间列$\{[a_n, b_n]\}$满足

则称$\{[a_n, b_n]\}$构成一个闭区间套

定理

若$\{[a_n, b_n]\}$构成一个闭区间套, 则存在唯一的$\xi\in\mathbb{R}$, 使得$\xi\in[a_n,b_n]\quad(n=1,2,…)$, 且$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\xi$.

证明

书$P_{15}$

例题

wjf/eg/1-2-4 (算数-几何平均值)

wjf/eg/1-2-5

wjf/xt/1-14

wjf/xt/1-15

[[01-本科课程/大二上/01-Calculus/纵向总结/Bolzano-Weierstrass定理]]

定义(子列)

设$\{a_n\}$为一个数列，而$n_1<n_2<…<n_k<n_{k+1}<…$是一列严格单调增加的自然数，则$a_{n1},a_{n_2},…,a_{n_k},a_{n_{k+1}}$也是一个数列将其记为$\{a_{n_k}\}$, 且称$\{a_{n_k}\}$为数列$\{a_n\}$的一个子数列，简称子列.

[[01-本科课程/大二上/01-Calculus/纵向总结/归并原理|归并原理]]

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a$的充分必要条件是: 对于$\{a_n\}$的每个子列$\{a_{n_k}\}$都有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n_k}=a$.

定理

有界数列必有收敛子列.

证明

书$P_{18}$

例题

wjf/eg/1-2-6

wjf/xt/1-15

wjf/xt/1-16

[[01-本科课程/大二上/01-Calculus/纵向总结/Cauchy收敛原理]]

定义(基本数列)

若数列$a_n$满足: 对任意给定的$\varepsilon>0$都存在$N\in\mathbb{N}$, 使得对任意的$m,n>N$都有$|a_m-a_n|<\varepsilon$, 则称$\{a_n\}$为基本数列(或Cauchy数列).

定理

数列$\{a_n\}$收敛的充分必要条件是: $\{a_n\}$为基本数列.

证明

书$P_{20}$

例题

wjf/eg/1-2-7

wjf/eg/1-2-8 (压缩条件)

wjf/xt/1-17

[[01-本科课程/大二上/01-Calculus/纵向总结/确界存在定理]]

定义(上/下确界)

设$S\in\mathbb{R}$且$S\neq\emptyset$.

上确界

若$\beta$是$S$的最小上界，即对任意的$x\in S$都有$x\leq \beta$且对任意的$\varepsilon>0$；都存在$x_\varepsilon\in S$使得$x_\varepsilon>\beta-\varepsilon$,则称$\beta$为$S$的上确界，记为$\beta=supS$.

下确界

若$\beta$是$S$的最大下界，即对任意的$x\in S$都有$x\geq \alpha$且对任意的$\varepsilon>0$；都存在$x_\varepsilon\in S$使得$x_\varepsilon<\alpha+\varepsilon$,则称$\alpha$为$S$的上确界，记为$\beta=infS$.

定理

非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界.

证明

书$P_{23}$

例题

wjf/eg/1-2-9

wjf/eg/1-2-10

wjf/xt/1-18 (上/下确界唯一性)

wjf/xt/1-19

[[01-本科课程/大二上/01-Calculus/纵向总结/Heine-Borel有限覆盖定理]]

开覆盖

设$S\subset\mathbb{R}$且$S\neq\emptyset$. 若区间簇$\displaystyle\{\mathcal{l}_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$满足$\displaystyle\bigcup_{\alpha\in\mathcal{A}}l_\alpha\supset S$,则称$\displaystyle\{\mathcal{l}_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$是$S$的一个开覆盖.特别地，当$\displaystyle\{\mathcal{l}_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$中的所有区间$l_\alpha$是开区间时，称$\displaystyle\{\mathcal{l}_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$是$S$的一个开覆盖.

定理

设$\displaystyle\{\mathcal{l}_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$是闭区间$[a,b]$的一个开覆盖，则在$\displaystyle\{\mathcal{l}_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$中必存在有限个开区间即可覆盖$[a,b]$, 即存在$l_{\alpha_1},l_{\alpha_2},…,l_{\alpha_p}\in\{l_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$使得$\displaystyle\bigcup_{k=1}^pl_{\alpha_k}\supset [a,b]$.

证明

书$P_{25}$

例题

wjf/eg/1-2-11

实数系基本定理的等价条性

Heine-Borel有限覆盖定理$\Rightarrow$单调有界定理

证明

书$P_{27}$